MONTE CARLO SIMULATOR

看見波動，如何改變報酬。

調整市場條件，觀察每日再平衡的槓桿 ETF，在不同路徑下走向哪裡。

6,000 條路徑／每日再平衡

正在模擬…

終點自由變動，模擬標的與 ETF 的可能報酬。

ETF 報酬中位數

—標的中位數 —

ETF 虧損機率

—期末價值低於初始投入

中間 90% 的模擬結果

—第 5 至第 95 百分位

期末報酬分布

每一條路徑，都是一種可能的結果。

槓桿 ETF標的

縱軸：路徑比例　橫軸：持有期間報酬率首尾區間包含極端值

24 條 ETF 樣本路徑 · 初始價值 100

每條線為一條獨立路徑

終點隨機，與終點固定。

¹ 中位數［L × 標的累積報酬 − ETF 累積報酬］，單位為百分點；負值代表 ETF 高於簡單倍數。

MODEL NOTES

每日標的報酬為 rᵢ，ETF 淨值逐日乘上 (1 + Lrᵢ)。例如標的先漲 10%、再跌 9.09%，會回到原點；3 倍 ETF 卻約損失 5.45%。趨勢行情中，複利也可能讓報酬高於簡單倍數。

Vᵢ = Vᵢ₋₁ × max(0, 1 + Lrᵢ)

令 μ = ln(1 + 年報酬率)。GBM 使用 dS/S = μdt + σdW，因此預期 Sₜ/S₀ = (1 + 年報酬率)ᵀ。布朗橋在對數價格上固定終點，所有標的路徑都得到這個累積報酬。

ln(Sₜ/S₀) = tμ + σBₜ

上式終點項為 ln(S_T/S₀) = Tμ；Bₜ = Wₜ − (t/T)W_T。

每年 252 個交易日，未計管理費、融資利息、交易成本與追蹤誤差。每日因子若 ≤ 0，ETF 歸零且保持為零。固定波動的布朗橋在連續再平衡極限下，ETF 終點會收斂；此處的分布來自每日離散再平衡。

波動拖累比較基準為 (S_T/S₀)^L，不是 L 倍簡單報酬。模擬用於理解機制，不是市場預測。